「フラクタル次元」については下の資料が非常に分かり易かったのでこれを参考に書く。
＜非自己相似のフラクタル と ランダム・フラクタル＞
前回はフラクタル図形の中でも最も簡単な「自己相似」の場合とその「相似次元」について説明した。
下の図は「フラクタルの木」と呼ばれる。左側は一定の規則に従って先が二つに分かれる線である。
これも厳密なフラクタルだが、下の根の方と上の葉の方では形が違う。この場合は半分のサイズの相似形を集めても元の形にはならない。つまり相似次元の概念は使えないことになる。
右側はさらにこれに「ランダム」の要素を加えた「ランダム・フラクタル」で乱数表を使えば数学的に作成でき、むしろ自然界にはこの例が圧倒的に多い。木の枝、稲妻、ひび割れの様子など多くの例が考えられる。
＜測度とハウスドルフ次元＞
この様な場合にもフラクタル次元を定義できる様に次元の考え方を拡張したものが「ハウスドルフ次元」である。
これを説明するには或る次元の図形が他の次元ではどの様な値を取るか考える事から始めねばならない。
１次元の線分は０次元の点を無数に含み、１次元の量である長さは一定値を取り、２次元の量である面積、３次元の量である体積は０である。
２次元の三角形や四角形は０次元の点、１次元の線分を無限に含み、２次元の面積は一定値を取り、３次元の体積は０である。
つまり「D次元」とは下表に示した様に、Dより小さい次元では無限大、Dより大きい次元では０になる、その間の次元を指している。
長さ、面積、体積、等を合わせて「測度」と言う。４次元以上の量でも呼べる様に名前を付けたのである。測度が無限大から０へ変わる境界のポイントを探す。この時の測度の次元をハウスドルフ次元、このハウスドルフ次元で量られる量をハウスドルフ測度と定義する。
ではハウスドルフ測度はどのようにして求めるのか？
これは積分と似た発想である。幾つの円（立体なら球）で図形を覆う事ができるかと考え、その円（または球）を次第に小さくしていくのである。
この時、図形が曲線の様に１次元なら円の直径の和は曲線の長さに近づき、
図形が四角形の様に２次元なら円の面積の和は図形の面積に近づくと考えられる。この円や球を無限に小さくしていった時の極限値としてハウスドルフ測度を計算できる。
このハウスドルフ測度が無限でも０でもなく有限の値を取る次元がその図形のハウスドルフ次元である。
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