幾何学もこれまでの簡単な復習から始める事にする。ヌーソロジーを理解するために線形代数の図形的意味を辿る事を主眼としているので数学的定義としては不正確な点もあるかもしれない。もっとこれまでの流れを詳しく知りたい方はこちらをどうぞ。http://bashar8698.livedoor.blog/archives/cat_327670.html



ベクトル空間

n次元ベクトル空間とは n次元空間の原点０を起点とするベクトルの集合

ベクトル空間は方向と大きさだけを表す空間である。

線形写像

行列 ＝ 線形写像 ＝ 一次変換

線形写像はベクトルをベクトルへ移す写像である。

線形写像とはベクトルの加法とスカラー乗法を保つ写像である。
（ベクトル和やスカラー倍を行ってから線形写像ｆで変換しても、ｆで変換してからベクトル和やスカラー倍を行っても同じ結果が得られるという事）

具体的には回転移動、線対称移動、拡大縮小など

7676AC99-986D-43DC-B533-820C8ED1D413


線形写像には下の資料にある様に、正方形を平行四辺形に移すような写像も含まれる。https://eman-physics.net/math/linear06.html


対称変換と群

群とは線対称、点対称など対称変換の構造を抽象化したものである。
つまりユルく言えば
対称変換 ＝ 群

その条件は
① 演算に関して閉じている
② 結合法則が成り立つ
③ 単位元が存在する
④ 逆元が存在する

 

転置行列と対称行列

行列の行と列を入れ替えた物を元の行列の転置行列、転置しても元の行列と変わらないものを対称行列と言う。
 
転置行列の例　
C07126B9-84E5-484A-877F-F18ABF0A4AAE


対称行列の例　　
98EF1111-1E17-4F8A-ADF6-8BA4F62C41E5
　　



直交行列と回転群

Mとその転置行列を掛けた積が単位行列になる時、そのMを直交行列と言う。

直交行列は群の条件を満たすので「直交群」と呼びO(n)で表す。（nは行列の次元）

直交行列の図形的意味は図形の長さと線分の間の角度を変えない変換である。
つまり合同な図形に変換するもので、具体的には回転や鏡像変換など。

直交行列＝合同変換 （ただし裏返しも合同とする）

その中で行列式が1になる直交行列は回転を意味し、その群を「特殊直交群」または「回転群」と呼びSO(n)で表す。



さてここからが今日の学習である。直交行列を複素数の範囲まで拡張したのがユニタリ行列である。だから直交行列はユニタリ行列に含まれる。ユニタリ行列も群の条件を満たすのでユニタリ群と呼びU(n) で表す。

直交行列の中でも行列式が１になるのが特殊直交群SO(n)だった。それと同様に
ユニタリ行列の行列式が１になる行列の群を特殊ユニタリ群と呼びSU(n)で表す。
これはベクトルの間の角度を変えない回転運動を意味するらしい。






回転群と正多面体、また回転群と鉱物結晶の関係について下の様な（数学の得意な人にとっては）非常に興味深い資料があるのだが

今の僕にはちょっと無理っぽいので、今はこの二つを横目で睨みながらそっと通り過ぎる事にしよう。（何のこっちゃ）